同時分布
【定義】
同時分布
ある試行によって $X$，$Y$ の値が定まるとき，$X=a$ かつ $Y=b$ である確率を $P(X=a,Y=b)$ と表す。
ある試行によって $X$，$Y$，$Z$ の値が定まるとき，$X=a$ かつ $Y=b$ かつ $Z=c$ である確率を $P(X=a,Y=b,Z=c)$ と表す。
2つの確率変数 $X$，$Y$ について，$X$ のとる値が $x_1,x_2,……,x_n$，$Y$ のとる値が $y_1,y_2,……,y_m$ のとき，$P(X=x_i,Y=y_j)=p_ij$ とおくと，$X$，$Y$ の確率分布は下図のように表され，この対応を $X$，$Y$ の同時分布という。
$\begin{array}{|c|cccc|c|}\hline&y_1&y_2&\cdots\cdots&y_m&計\\\hline x_1&p_{11}&p_{12}&\cdots\cdots&p_{1m}&p_1\\x_2&p_{21}&p_{22}&\cdots\cdots&p_{2m}&p_2\\\vdots&\vdots&\vdots&\cdots\cdots&\vdots&\vdots\\\vdots&\vdots&\vdots&\cdots\cdots&\vdots&\vdots\\x_n&p_{n1}&p_{n2}&\cdots\cdots&p_{nm}&p_n\\\hline 計&q_1&q_2&\cdots\cdots&q_m&1\\\hline\end{array}$
確率変数の独立・従属
【定義】
独立
2つの変数 $X$，$Y$ があって，$X$ のとる値 $a$ と，$Y$ のとる値 $b$ に対して，
$P(X=a,Y=b)=P(X=a)P(Y=b)$
が $a$，$b$ のとり方に関係なく常に成り立つとき，確率変数 $X$，$Y$ は互いに独立であるという。
※3つ以上の確率変数が互いに独立であることも同様に定義される。
従属
2つの事象 $A$，$B$ が独立でないとき，$A$ と $B$ は従属であるという。
※3つ以上の確率変数が従属であることも同様に定義される。
事象の独立・従属
2つの事象 $A$ と $B$ が互いに独立
$\Leftrightarrow$ $P_A(B)=P(B)$
$\Leftrightarrow$ $P_B(A)=P(A)$
$\Leftrightarrow$ $P(A\cap B)=P(A)P(B)$
期待値・分散の性質
【定理】
期待値の性質
- $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$
- $E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)$ ($a$，$b$ は定数)
- 2つの確率変数 $X$，$Y$ が互いに独立であるとき $E(XY)=E(X)E(Y)$
※3つ以上の確率変数の和の期待値についても同様の等式が成り立つ。
分散の性質
2つの確率変数 $X$，$Y$ が互いに独立であるとき
- $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$
- $V(aX+bY)=a^2V(X)+b^2V(Y)$ ($a$，$b$ は定数)
※互いに独立な3つ以上の確率変数の和の分散についても同様の等式が成り立つ。
二項分布
1回の試行で事象 $A$ の怒る確率を $p$ とすると，この試行を $n$ 回行う反復試行において，$A$ がちょうど $r$ 回起こる確率は
${}_n\mathrm{C}_rp^rq^{n-r}$ (ただし $q=1-p$ )
【定義】
二項分布
$n$ 回の反復試行において，事象 $A$ の起こる回数を $X$ とすると，$X$ は確率変数で，その確率分布を二項分布といい，$\boldsymbol{B(n,p)}$ で表す。また，確率変数 $X$ は二項分布 $B(n,p)$ に従うという。
【定理】
確率変数 $X$ が二項分布 $B(n,p)$ に従うときの期待値・分散・標準偏差
確率変数 $X$ が二項分布 $B(n,p)$ に従うとき，$q=1-p$ とすると
- 期待値：$E(X)=np$
- 分散：$V(X)=npq$
- 標準偏差：$\sigma(X)=\sqrt{npq}$