【定義・定理・公式】高校数学基本事項 – 数学B – 種々の数列

和の記号 $\Sigma$，数列の和の公式

【定義】

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_k=a_1+a_2+……+a_n$

【定理】

和の公式

定数の和：$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}c=c+c+…+c=nc$ ( $c$ は定数)
自然数の和：$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k=1+2+…+n=\frac{1}{2}n(n+1)$
平方数の和：$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2=1^2+2^2+…+n^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$
立法数の和：$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^3=1^3+2^3+…+n^3=\left\{\frac{1}{2}n(n+1)\right\}^2$
累乗の和：$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}r^{k-1}=r^1+r^2+……+r^{n-1}=\frac{1-r^n}{1-r}=\frac{r^n-1}{r-1}$ ( $r\neq1$ )

$\boldsymbol{\Sigma}$ の性質

$p$，$q$ は $k$ に無関係な定数とする

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(a_k+b_k)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_k+\sum_{k=1}^{n}b_k$
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}pa_k=p\sum_{k=1}^{n}a_k$
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(pa_k+qb_k)=p\sum_{k=1}^{n}a_k+q\sum_{k=1}^{n}b_k$

一般に，数列 $\{a_n\}$ の隣り合う2項の差 $a_{n+1}-a_n=b_n$ ( $n$ は自然数)を項とする数列 $\{b_n\}$ を，数列 $\{a_n\}$ の階差数列という。

階差数列 $\{b_n\}$ を用いた数列 $\{a_n\}$ の一般項は

$n\geqq2$ のとき $a_n=a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}b_k

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とすると