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【定義・定理・公式】高校数学基本事項 – 数学B – 等差数列

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数列

【定義】

数列:数を一列に並べたもの

※一般に数列を $a_1,a_2,……,a_n,……$ で表し,$\{a_n\}$ と略記することもある。

:数列における各数

初項:数列における1番目の項

第 $\boldsymbol{n}$ 項:数列における $n$ 番目の項

有限数列:項の個数が有限である数列

項数:有限数列の項の個数

末項:有限数列の最後の項

無限数列:項の個数が無限である数列

一般項:数列の第 $n$ 項 $a_n$ が $n$ の式で表されたもの

 

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等差数列

等差数列:初項に一定の数 $d$ (公差)を次々と足して得られる数列

等差数列の一般項

初項 $a$,公差 $d$ の等差数列 $\{a_n\}$ の一般項は

$a_n=a+(n-1)d$

等差数列の性質

等差数列 $\{a_n\}$ について,すべての自然数 $n$ で次の関係が成り立つ。

 

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等差中項

3つの項からなる数列 $a$,$b$,$c$ について

数列 $a$,$b$,$c$ が等差数列 $\Leftrightarrow$ $2b=a+c$

であり,このときの $b$ を $a$ と $c$ との等差中項という。

等差中項はその前後の項の相加平均に等しい。

 

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調和数列

数列 $\{a_n\}$ にといて,各項が $0$ と異なり,その逆数を項とする数列 $\{\frac{1}{a_n}\}$ が等差数列をなすとき,もとの数列 $\{a_n\}$ を調和数列という。すなわち

$\displaystyle\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}=d$ (一定)

 

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等差数列の和

初項 $a$,公差 $d$,末項 $l$,項数 $n$ の等差数列の和を $S_n$ とする。