数列
【定義】
数列：数を一列に並べたもの
※一般に数列を $a_1,a_2,……,a_n,……$ で表し，$\{a_n\}$ と略記することもある。
項：数列における各数
初項：数列における1番目の項
第 $\boldsymbol{n}$ 項：数列における $n$ 番目の項
有限数列：項の個数が有限である数列
項数：有限数列の項の個数
末項：有限数列の最後の項
無限数列：項の個数が無限である数列
一般項：数列の第 $n$ 項 $a_n$ が $n$ の式で表されたもの
等差数列
等差数列：初項に一定の数 $d$ (公差)を次々と足して得られる数列
等差数列の一般項
初項 $a$，公差 $d$ の等差数列 $\{a_n\}$ の一般項は
$a_n=a+(n-1)d$
等差数列の性質
等差数列 $\{a_n\}$ について，すべての自然数 $n$ で次の関係が成り立つ。
- $a_{n+1}=a_n+d$
- $a_{n+1}-a_n=d$ (一定)
等差中項
3つの項からなる数列 $a$，$b$，$c$ について
数列 $a$，$b$，$c$ が等差数列 $\Leftrightarrow$ $2b=a+c$
であり，このときの $b$ を $a$ と $c$ との等差中項という。
等差中項はその前後の項の相加平均に等しい。
調和数列
数列 $\{a_n\}$ にといて，各項が $0$ と異なり，その逆数を項とする数列 $\{\frac{1}{a_n}\}$ が等差数列をなすとき，もとの数列 $\{a_n\}$ を調和数列という。すなわち
$\displaystyle\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}=d$ (一定)
等差数列の和
初項 $a$，公差 $d$，末項 $l$，項数 $n$ の等差数列の和を $S_n$ とする。
- $S_n=\displaystyle\frac{1}{2}n(a+l)$
- $S_n=\displaystyle\frac{1}{2}n\{2a+(n-1)d\}$