位置ベクトル

【定義】

位置ベクトル：原点を始点とするベクトル

位置ベクトルが $\vec{p}$ である点 $\mathrm{P}$ を $\mathrm{P}(\vec{p})$ で表す。

また，2点 $\mathrm{A}(\vec{a})$，$\mathrm{B}(\vec{b})$ に対し，ベクトル $\overrightarrow{AB}$ は $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\vec{b}-\vec{a}$ と表される。

分点・重心の位置ベクトル

分点の位置ベクトル

2点 A(a⃗)\mathrm{A}(\vec{a})，B(b⃗)\mathrm{B}(\vec{b}) を結ぶ線分 AB\mathrm{AB} を m:nm:n に内分する点 P(p⃗)\mathrm{P}(\vec{p}) と外分する点 Q(q⃗)\mathrm{Q}(\vec{q})，および，線分 AB\mathrm{AB} の中点 R(r⃗)\mathrm{R}(\vec{r}) は

  • $\vec{p}=\displaystyle\frac{n\vec{a}+m\vec{b}}{m+n}$
  • $\vec{q}=\displaystyle\frac{-n\vec{a}+m\vec{b}}{m-n}$
  • $\vec{r}=\displaystyle\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$

三角形の重心の位置ベクトル

3点 A(a⃗)\mathrm{A}(\vec{a})，B(b⃗)\mathrm{B}(\vec{b})，C(c⃗)\mathrm{C}(\vec{c}) を頂点とする △ABC\triangle \mathrm{ABC} の重心 G(g⃗)\mathrm{G}(\vec{g}) は

$\vec{g}=\displaystyle\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$

共点条件(異なる3本以上の直線が1点で交わるための条件)

点の一致は位置ベクトルの一致から示す。

例)

3点 P\mathrm{P}，Q\mathrm{Q}，R\mathrm{R} の一致は OP→=OQ→=OR→\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OR} から示す。

共線条件(異なる3個以上の点が同じ直線上にあるための条件)

  • 点 $\mathrm{C}$ が直線 $\mathrm{AB}$ 上にある $\Leftrightarrow$ $\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}$ となる実数 $k$ がある
  • 点 $\mathrm{P}$ が直線 $\mathrm{AB}$ 上にある $\Leftrightarrow$ $\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$，$s+t=1$ となる実数 $s$，$t$ がある