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【定義・定理・公式】高校数学基本事項 – 数学A – 【補足】合同式

合同式は,学習指導要領の範囲外の内容であるが,整数の問題を処理するときにはとても有用であるので,ここで扱っておく。

以下,$m$ は正の整数,$a$,$b$ は整数とする。

 

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合同式

【定義】

$a$,$b$ が $m$ を法として合同:$a-b$ が $m$ の倍数であること

合同式:$a$,$b$ が $m$ を法として合同を $a \equiv b ( \bmod m)$ と表したもの

※$a$ と $b$ が $m$ を法として合同であるとき,次の関係が成り立つ。

$a \equiv b ( \bmod m)$

$\Leftrightarrow$ $a-b$ が $m$ の倍数 [$a-b=mk$ ( $k$ は整数)] :定義

$\Leftrightarrow$ ( $a$ を $m$ で割った余り) $=$ ( $b$ を $m$ で割った余り)

 

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合同式の性質

【定理】

合同式の性質Ⅰ

※$a \equiv b ( \bmod m)$,$b \equiv c ( \bmod m)$ を $a \equiv b \equiv c ( \bmod m)$ と書いても良い。

合同式の性質Ⅱ

$a \equiv b ( \bmod m)$,$c \equiv d ( \bmod m)$ のとき,次のことが成り立つ。