円の直線

  • 円 $\mathrm{O}$ の周上の点 $\mathrm{A}$ を通る直線 $l$ について
    直線 $l$ が点 $\mathrm{A}$ で円 $\mathrm{O}$ に接する $\Leftrightarrow$ $\mathrm{OA} \perp l$
    が成り立つ。
  • 円の外部の点から円に引くことができる接線は2本ある。
  • 円の外部の点から円に接線を引いたとき，外部の点と接点の間の距離を接線の長さという。

【定理】

円の接線

円の外部の1点 P\mathrm{P} からその円に引いた2本の接線の長さは等しい。

接弦定理

円 O\mathrm{O} の弦 AB\mathrm{AB} と，その端点 A\mathrm{A} における接線 AT\mathrm{AT} が作る角 ∠BAT\angle \mathrm{BAT} は，その角の内部に含まれる AB⌢\stackrel{ \Large \frown }{\mathrm{AB}} に対する円周角 ∠ACB\angle \mathrm{ACB} に等しい。

接弦定理の逆

円 O\mathrm{O} の AB⌢\stackrel{ \Large \frown }{\mathrm{AB}} と半直線 AT\mathrm{AT} が直線 AB\mathrm{AB} の同じ側にあって，AB⌢\stackrel{ \Large \frown }{\mathrm{AB}} に対する円周角 ∠ACB\angle \mathrm{ACB} が ∠BAT\angle \mathrm{BAT} に等しいとき，直線 AT\mathrm{AT} は点 A\mathrm{A} で円 O\mathrm{O} に接する。

方べきの定理Ⅰ

円の2つの弦 AB\mathrm{AB}，CD\mathrm{CD} の交点，またはそれらの延長の交点を P\mathrm{P} とすると PA⋅PB=PC⋅PD\mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB} = \mathrm{PC} \cdot \mathrm{PD} が成り立つ。

※円の中心を $\mathrm{O}$，半径を $r$ とすると $\mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB} =| \mathrm{OP}^2-r^2|$

方べきの定理Ⅱ

円の外部の点 P\mathrm{P} から円に引いた接線の接点を T\mathrm{T} とする。点 P\mathrm{P} を通ってこの円と2点 A\mathrm{A}，B\mathrm{B} で交わる直線を引くと PA⋅PB=PT2\mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB} = \mathrm{PT}^2 が成り立つ。

方べきの定理の逆

2つの線分 AB\mathrm{AB} と CD\mathrm{CD}，または AB\mathrm{AB} の延長と CD\mathrm{CD} の延長が点 P\mathrm{P} で交わるとき，PA⋅PB=PC⋅PD\mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB} = \mathrm{PC} \cdot \mathrm{PD} が成り立つならば，4点 A\mathrm{A}，B\mathrm{B}，C\mathrm{C}，D\mathrm{D} は1つの円周上にある。

2つの円の位置関係と共通接線

【定義】

共通接線：2つの円に接している直線

共通内接線：2つの円が両側にある共通接線

共通外接線：2つの円が同じ側にある共通接線

半径がそれぞれ rr，r′r' ( r>r′r>r' )である2つの円の中心間の距離を dd とすると，2つの円の位置関係は5種類に分けられ，それによって共通接線の本数が定まる。

位置関係 一方が他方の内部にある 内接する 2点で交わる 外接する 一方が他方の外部にある
条件 $d<r-r'$ $d=r-r'$ $r-r'<d<r+r'$ $d=r+r'$ $d>r+r'$
共通内接線の本数 0 0 0 1 2
共通外接線の本数 0 1 2 2 2
共通接線の本数 0 1 2 3 4

※2つの円が接するとき，この共有点を接点といい，接点は2つの円の中心を結ぶ直線上にある。