円周角と弧
【定理】
円周角の定理
- 1つの弧に対する円周角の大きさは，その弧に対する中心角の大きさの半分である。
- 同じ弧に対する円周角の大きさは等しい。
円周角の定理の逆
4点 $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$ について，$\mathrm{P}$ と $\mathrm{Q}$ が直線 $\mathrm{AB}$ に関して同じ側にあって $\angle \mathrm{APB} = \angle \mathrm{AQB}$ が成り立つならば，4点 $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$ は1つの円周上にある。
円周角と弧
1つの円，または半径の等しい円において
- 等しい円周角に対する弧の長さは等しい。
- 長さの等しい弧に対する円周角は等しい。
円の内部・外部の点と角の大小
円の周上に3点 $\mathrm{A}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{B}$ があり，点 $\mathrm{P}$ が直線 $\mathrm{AB}$ に関して点 $\mathrm{Q}$ と同じ側にあるとき
- 点 $\mathrm{P}$ が円の周上にある $\Rightarrow$ $\angle \mathrm{APB} = \angle \mathrm{AQB}$
- 点 $\mathrm{P}$ が円の内部にある $\Rightarrow$ $\angle \mathrm{APB} > \angle \mathrm{AQB}$
- 点 $\mathrm{P}$ が円の外部にある $\Rightarrow$ $\angle \mathrm{APB} < \angle \mathrm{AQB}$
円に接する四角形
【定義】
多角形が円に内接する：多角形のすべての頂点が1つの円周上にあること
外接円：多角形のすべての頂点を通る円
【定理】
円に内接する四角形
四角形が円に内接するとき
- 四角形の対角の和は $180^{ \circ }$ である。
- 四角形の外角は，それと隣り合う内角の対角に等しい。
円に内接する四角形の逆
- 1組の対角の和が $180^{ \circ }$ である。
- 1つの外角が，それと隣り合う内角の対角に等しい。
これらのどちらかが成り立つ四角形は円に内接する。
※上記2つの定理を合わせて
円に内接する四角形 $\Leftrightarrow$ $(内角)+(対角)=180^{ \circ }$ または $(内角)=(対角の外角)$