線分の内分点・外分点
【定義】
点 $\mathrm{P}$ が線分 $\mathrm{AB}$ を $m:n$ に内分する：$m$，$n$ を正の数としたとき，線分 $\mathrm{AB}$ 上の点 $\mathrm{P}$ が $\mathrm{AP} : \mathrm{PB} =m:n$ を満たすこと
内分点：内分する点
点 $\mathrm{Q}$ が線分 $\mathrm{AB}$ を $m:n$ に外分する：$m$，$n$ を正の数としたとき，線分 $\mathrm{AB}$ の延長上の点 $\mathrm{Q}$ が $\mathrm{AQ} : \mathrm{QB} =m:n$ を満たすこと
内分点：外分する点
三角形の角の二等分線と比
【定理】
平行線と同位角・錯角，辺の比
- 平行な2直線に1直線が交わるとき，同位角，錯角はそれぞれ等しい
- $\triangle \mathrm{ABC}$ の辺 $\mathrm{AB}$ 上に点 $\mathrm{P}$ があり，辺 $\mathrm{AC}$ 上に点 $\mathrm{Q}$ があるとき
$\mathrm{PQ} /\!/ \mathrm{BC} \Leftrightarrow \mathrm{AP} : \mathrm{AB} = \mathrm{AQ} : \mathrm{AC}$
$\mathrm{PQ} /\!/ \mathrm{BC} \Leftrightarrow \mathrm{AP} : \mathrm{PB} = \mathrm{AQ} : \mathrm{QC}$
$\mathrm{PQ} /\!/ \mathrm{BC} \Leftrightarrow \mathrm{AP} : \mathrm{AB} = \mathrm{PQ} : \mathrm{BC}$
三角形の内角の二等分線と辺の比
$\triangle \mathrm{ABC}$ の $\angle \mathrm{A}$ の二等分線と辺 $\mathrm{BC}$ との交点 $\mathrm{P}$ は，辺 $\mathrm{BC}$ を $\mathrm{AB} : \mathrm{AC}$ に内分する。
三角形の外角の二等分線と辺の比
$\mathrm{AB} \neq \mathrm{AC}$ である $\triangle \mathrm{ABC}$ の頂点 $\mathrm{A}$ における外角の二等分線と辺 $\mathrm{BC}$ の延長との交点 $\mathrm{Q}$ は，辺 $\mathrm{BC}$ を $\mathrm{AB} : \mathrm{AC}$ に外分する。
三角形の五心
【定義】
外接円：三角形の3つの頂点を通る円
外心：外接円の中心
内接円：三角形の3辺に接する円
内心：内接円の中心
中線：三角形の頂点と向かい合う辺の中点を結ぶ線分
重心：三角形の3本の中線の交点
垂心：三角形の3つの頂点から向かい合う辺に下ろした垂線の交点
傍接円：三角形の1辺と他の2辺の延長に接する円
傍心：傍接円の中心
※傍心・傍接円は3つある。
【定理】
外心
三角形の3辺の垂直二等分線は1点で交わる。
内心
三角形の3つの内角の二等分線は1点で交わる。
重心
三角形の3本の中線は1点で交わり，その点は各中線を $2:1$ に内分する。
垂心
三角形の3つの頂点から向かい合う辺に下ろした垂線1点で交わる。
傍心
三角形の1つの頂点における内角の二等分線と，他の2つの頂点における外角の二等分線は1点で交わる。
中線定理
【定理】
中線定理
$\triangle \mathrm{ABC}$ の辺 $\mathrm{BC}$ の中点を $\mathrm{M}$ とすると
$\mathrm{AB}^2 + \mathrm{AC}^2 =2( \mathrm{AM}^2 + \mathrm{BM}^2 )$