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【定義・定理・公式】高校数学基本事項 – 数学A – 順列,組合せ

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円順列,数珠順列,重複順列

【定義】

円順列:ものを円形に並べる順列

※異なる $n$ 個の円順列の総数は $\displaystyle \frac{{}_n \mathrm{ P }_n}{n}=(n-1)!$

数珠順列:ものを円形に並べ,回転または裏返して一致するものは同じものと見る順列

※異なる $n$ 個の数珠順列の総数は $\displaystyle \frac{(n-1)!}{2}$

$\boldsymbol{n}$ 個から $\boldsymbol{r}$ 個取る重複順列:異なる $n$ 個のものから,重複を許して $r$ 個を取り出して並べる順列

※$\boldsymbol{n}$ 個から $\boldsymbol{r}$ 個取る重複順列の総数は $n^r$

 

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組合せ

【定義】

組合せ:ものを取り出す順序を無視した組の1つ1つのこと

$\boldsymbol{n}$ 個から $\boldsymbol{r}$ 個取る組合せ:異なる $n$ 個のものから異なる $r$ 個を取り出して作る組合せ

※ $\boldsymbol{n}$ 個から $\boldsymbol{r}$ 個取る組合せの総数を ${}_n \mathrm{ C }_r$ で表す

${}_n \mathrm{ C }_r= \displaystyle \frac{{}_n \mathrm{ P }_r}{r!} = \frac{n(n-1)(n-2)……(n-r+1)}{r(r-1)(r-2)……3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ ( $r \leqq n$ )

${}_n \mathrm{ C }_n=1$

${}_n \mathrm{ C }_1=n$

${}_n \mathrm{ C }_0=1$

※ ${}_n \mathrm{ C }_r$ の性質

${}_n \mathrm{ C }_r={}_n \mathrm{ C }_{n-r}$ ただし $1 \leqq r \leqq n$

${}_n \mathrm{ C }_r={}_{n-1} \mathrm{ C }_{r-1} + {}_{n-1} \mathrm{ C }_r$ ただし $1 \leqq r \leqq n-1$,$n \geqq 2$

 

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同じものを含む順列

aが $p$ 個,bが $q$ 個,cが $r$ 個あるとき,それら全部を1列に並べる順列の総数は

${}_n \mathrm{ C }_p \times {}_{n-p} \mathrm{ C }_q = \displaystyle \frac{n!}{p!q!r!}$ ただし $p+q+r=n$

 

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重複組合せ

【定義】

$\boldsymbol{n}$ 個から $\boldsymbol{r}$ 個取る重複組合せ:異なる $n$ 個のものから,重複を許して異なる $r$ 個を取り出して作る組合せ

※ $\boldsymbol{n}$ 個から $\boldsymbol{r}$ 個取る重複組合せの総数を ${}_n \mathrm{ H }_r$ で表す

${}_n \mathrm{ H }_r = {}_{n+r-1} \mathrm{ C }_r$