円順列，数珠順列，重複順列
【定義】
円順列：ものを円形に並べる順列
※異なる $n$ 個の円順列の総数は $\displaystyle \frac{{}_n \mathrm{ P }_n}{n}=(n-1)!$
数珠順列：ものを円形に並べ，回転または裏返して一致するものは同じものと見る順列
※異なる $n$ 個の数珠順列の総数は $\displaystyle \frac{(n-1)!}{2}$
$\boldsymbol{n}$ 個から $\boldsymbol{r}$ 個取る重複順列：異なる $n$ 個のものから，重複を許して $r$ 個を取り出して並べる順列
※$\boldsymbol{n}$ 個から $\boldsymbol{r}$ 個取る重複順列の総数は $n^r$
組合せ
【定義】
組合せ：ものを取り出す順序を無視した組の1つ1つのこと
$\boldsymbol{n}$ 個から $\boldsymbol{r}$ 個取る組合せ：異なる $n$ 個のものから異なる $r$ 個を取り出して作る組合せ
※ $\boldsymbol{n}$ 個から $\boldsymbol{r}$ 個取る組合せの総数を ${}_n \mathrm{ C }_r$ で表す
${}_n \mathrm{ C }_r= \displaystyle \frac{{}_n \mathrm{ P }_r}{r!} = \frac{n(n-1)(n-2)……(n-r+1)}{r(r-1)(r-2)……3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ ( $r \leqq n$ )
${}_n \mathrm{ C }_n=1$
${}_n \mathrm{ C }_1=n$
${}_n \mathrm{ C }_0=1$
※ ${}_n \mathrm{ C }_r$ の性質
${}_n \mathrm{ C }_r={}_n \mathrm{ C }_{n-r}$ ただし $1 \leqq r \leqq n$
${}_n \mathrm{ C }_r={}_{n-1} \mathrm{ C }_{r-1} + {}_{n-1} \mathrm{ C }_r$ ただし $1 \leqq r \leqq n-1$，$n \geqq 2$
同じものを含む順列
aが $p$ 個，bが $q$ 個，cが $r$ 個あるとき，それら全部を1列に並べる順列の総数は
${}_n \mathrm{ C }_p \times {}_{n-p} \mathrm{ C }_q = \displaystyle \frac{n!}{p!q!r!}$ ただし $p+q+r=n$
重複組合せ
【定義】
$\boldsymbol{n}$ 個から $\boldsymbol{r}$ 個取る重複組合せ：異なる $n$ 個のものから，重複を許して異なる $r$ 個を取り出して作る組合せ
※ $\boldsymbol{n}$ 個から $\boldsymbol{r}$ 個取る重複組合せの総数を ${}_n \mathrm{ H }_r$ で表す
${}_n \mathrm{ H }_r = {}_{n+r-1} \mathrm{ C }_r$