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【定義・定理・公式】高校数学基本事項 – 数学Ⅲ – 関数のいろいろな表し方と導関数

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高次導関数

【定義】

第2次導関数:$f'(x)$ の導関数で,$y^{\prime\prime}$,$f^{\prime\prime}(x)$,$\displaystyle\frac{d^2y}{dx^2}$,$\displaystyle\frac{d^2}{dx^2}f(x)$ と表す

第3次導関数:$f^{\prime\prime}(x)$ の導関数で,$y^{\prime\prime\prime}$,$f^{\prime\prime\prime}(x)$,$\displaystyle\frac{d^3y}{dx^3}$,$\displaystyle\frac{d^3}{dx^3}f(x)$ と表す

第 $\boldsymbol{n}$ 次導関数:$f(x)$ を $n$ 回微分して得られる関数で,$y^{(n)}$,$f^{(n)}(x)$,$\displaystyle\frac{d^ny}{dx^n}$,$\displaystyle\frac{d^n}{dx^n}f(x)$ と表す

 

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方程式 $F(x,y)=0$ で表された関数の導関数

$y$ が $x$ の関数のとき

$\displaystyle{\frac{d}{dx}f(y)=\frac{d}{dy}f(y)\cdot\frac{dy}{dx}}$

$F(x,y)=0$ で表された $x$ の関数 $y$ の導関数を求めるには $F(x,y)=0$ の両辺を $x$ で微分する。

$\frac{dy}{dx}$ を求める際に $y=f(x)$ の形にしづらい,できない場合があるため,$F(x,y)=0$ の両辺を $x$ で微分することによって $y’$ をつくり,$y’$ について解くような方法をとる。

 

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媒介変数で表された関数の導関数

$\left \{ \begin{array}{l} x=f(t) \\ y=g(t) \end{array} \right.$ のとき

$\displaystyle{\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{g'(t)}{f'(t)}}$ $\left(\displaystyle\frac{dx}{dt}\neq 0 \right)$