【定義・定理・公式】高校数学基本事項 – 数学Ⅲ – 三角，対数，指数関数の導関数

自然対数の底

【定義】

自然対数の底( $e$ )

$e=\displaystyle\lim_{h\to 0}(1+h)^{\frac{1}{h}}$

※ $e=2.71828\cdots\cdots$

【定理】

$\boldsymbol{e}$ に関する極限

$\displaystyle{\lim_{x\to \pm\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e}$

 

三角・指数・対数関数の導関数

三角関数の導関数

• $(\sin x)’=\cos x$
• $(\cos x)’=-\sin x$
• $(\tan x)’=\displaystyle\frac{1}{\cos^2 x}$

※角の単位は弧度法。

指数関数の導関数

• $(e^x)’=e^x$
• $(a^x)’=a^x\log a$ ( $a>0$，$a\neq 1$ )

対数関数の導関数

• $(\log x)’=\displaystyle\frac{1}{x}$
• $(\log_a x)’=\displaystyle\frac{1}{x\log a}$
• $(\log|x|)’=\displaystyle\frac{1}{x}$
• $(\log_a|x|)’=\displaystyle\frac{1}{x\log a}$

※微分法や積分法では，自然対数の場合に底 $e$ を省略して，単に $\log x$ と書く。