数列の極限
数列 $\{a_n\}$ ( $n=1,2,3,\cdots\cdots$ )は無限数列とする。
| 収束 | $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha$ (極限値) | 例) $a_n=\frac{1}{n}$ | 極限がある |
| 発散 | $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\infty$ | 例) $a_n=n^2$ | |
| $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=-\infty$ | 例) $a_n=(-n^3)$ | ||
| 振動 | 例) $a_n=(-1)^n$ | 極限がない |
※数列の極限が $\pm\infty$ の場合には，これを極限値とはいわない。
数列の極限値の性質
【定理】
数列の極限値の性質
数列 $\{a_n\}$，$\{b_n\}$ が収束して，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha$，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=\beta$ で，$k$，$l$ は定数とする。
- 定数倍：$\displaystyle\lim_{n\to\infty}ka_n=k\alpha$
- 和：$\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=\alpha+\beta$
- 差：$\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n-b_n)=\alpha-\beta$
- $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(ka_n+lb_n)=k\alpha+l\beta$
- 積：$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_nb_n=\alpha\beta$
- 商：$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\alpha}{\beta}$ ( $\beta\neq 0$ )
※不定形の極限( $\infty-\infty$，$0\times\infty$，$\frac{\infty}{\infty}$，$\frac{0}{0}$ )の極限はわからないため，上記の性質は数列が収束する条件のもとで成り立つ。
数列の大小関係と極限
すべての $n$ について $a_n\leqq c_n\leqq b_n$ のとき
- $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha$，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=\beta$ $\Rightarrow$ $\alpha\leqq\beta$
- $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\infty$ $\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=\infty$
- $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=\alpha$ $\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{n\to\infty}c_n=\alpha$ (はさみうちの原理)
※条件の不等式が「すべての $n$」で成り立たなくても，ある自然数 $n_0$ 以上の $n$ で常に成り立てば，上のことが成り立つ。
※条件の不等式の不等号が $\leqq$ でなく $<$ でも，上のことは成り立つ。
※上記の1番目について，常に $a_n<b_n$ であっても $\alpha<\beta$ とは限らず，$\alpha=\beta$ となることもありうる。
$\{n^k\}$ の極限
$k>0$ のとき
- $\displaystyle\lim_{n\to\infty}n^k=\infty$
- $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^k}=0$
無限等比数列の極限
$\{r^n\}$ の極限 $\left \{ \begin{array}{l} 1<r のとき \displaystyle\lim_{n\to\infty}r^n=\infty \\ r=1 のとき \displaystyle\lim_{n\to\infty}r^n=1 \\ |r|<1 のとき \displaystyle\lim_{n\to\infty}r^n=0 \\ r\leqq-1 のとき 振動(極限はない) \end{array} \right.$
($-1<r\leqq 1$ のとき収束)