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【定義・定理・公式】高校数学基本事項 – 数学Ⅲ – 2次曲線

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放物線

【定義】

放物線:平面上で,定点 $\mathrm{F}$ からの距離と,$\mathrm{F}$ を通らない定直線 $l$ からの距離が等しい点の軌跡

放物線の方程式の標準形:$y^2=4px$ ( $p\neq 0$ )

焦点:放物線の定義における点 $\mathrm{F}$

準線:放物線の定義における定直線 $l$

【定理】

放物線の性質

放物線 $y^2=4px$ ( $p\neq 0$ )

放物線 $x^2=4py$ ( $p\neq 0$ )

 

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楕円

【定義】

楕円:平面上で,2定点 $\mathrm{F}$,$\mathrm{F’}$ からの距離の和が一定である点の軌跡

楕円の方程式の標準形:$\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}$ ( $a>b>0$ )

焦点:楕円の定義における2点 $\mathrm{F}$,$\mathrm{F’}$

長軸:楕円によって切り取られた座標軸の長い方

短軸:楕円によって切り取られた座標軸の短い方

【定理】

楕円の性質

楕円 $\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}$ ( $a>b>0$ )

楕円 $\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}$ ( $b>a>0$ )

 

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双曲線

【定義】

双曲線:平面上で,2定点 $\mathrm{F}$,$\mathrm{F’}$ からの距離の差が一定である点の軌跡

双曲線の方程式の標準形:$\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1}$ ( $a>0$,$b>0$ )

焦点:双曲線の定義における2点 $\mathrm{F}$,$\mathrm{F’}$

【定理】

双曲線の性質

双曲線 $\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1}$ ( $a>0$,$b>0$ )

双曲線 $\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1}$ ( $a>0$,$b>0$ )

 

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2次曲線の平行移動

曲線 $F(x,y)=0$ を $x$ 軸方向に $p$,$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動して得られる曲線の方程式は

$F(x-p,y-q)=0$

方程式が標準形で表される2次曲線を平行移動したときの曲線の方程式は

$ax^2+cy^2+dx+ey+f=0$

2次曲線を平行移動だけでなく,回転・対称移動したときの曲線の方程式は

$ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$

※平行移動だけなら $xy$ の項は現れない。