放物線
【定義】
放物線：平面上で，定点 $\mathrm{F}$ からの距離と，$\mathrm{F}$ を通らない定直線 $l$ からの距離が等しい点の軌跡
放物線の方程式の標準形：$y^2=4px$ ( $p\neq 0$ )
焦点：放物線の定義における点 $\mathrm{F}$
準線：放物線の定義における定直線 $l$
【定理】
放物線の性質
放物線 $y^2=4px$ ( $p\neq 0$ )
- 頂点：原点
- 焦点：点 $(p,0)$
- 準線：直線 $x=-p$
- 軸：$x$ 軸
- 曲線は軸に関して対称
放物線 $x^2=4py$ ( $p\neq 0$ )
- 頂点：原点
- 焦点：点 $(0,p)$
- 準線：直線 $y=-p$
- 軸：$y$ 軸
- 曲線は軸に関して対称
楕円
【定義】
楕円：平面上で，2定点 $\mathrm{F}$，$\mathrm{F’}$ からの距離の和が一定である点の軌跡
楕円の方程式の標準形：$\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}$ ( $a>b>0$ )
焦点：楕円の定義における2点 $\mathrm{F}$，$\mathrm{F’}$
長軸：楕円によって切り取られた座標軸の長い方
短軸：楕円によって切り取られた座標軸の短い方
【定理】
楕円の性質
楕円 $\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}$ ( $a>b>0$ )
- 楕円上の任意の点から2つの焦点までの距離の和：$2a$
- 中心：原点
- 長軸の長さ：$2a$
- 短軸の長さ：$2b$
- 焦点：$\mathrm{F}(\sqrt{a^2-b^2},0)$，$\mathrm{F’}(-\sqrt{a^2-b^2},0)$
- 曲線は $x$ 軸，$y$ 軸，原点に関して対称
- 円 $x^2+y^2=a^2$ を $x$ 軸をもとにして $y$ 軸の方向に $\frac{b}{a}$ 倍に縮小した曲線
楕円 $\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}$ ( $b>a>0$ )
- 楕円上の任意の点から2つの焦点までの距離の和：$2b$
- 中心：原点
- 長軸の長さ：$2b$
- 短軸の長さ：$2a$
- 焦点：$\mathrm{F}(0,\sqrt{a^2-b^2})$，$\mathrm{F’}(0,-\sqrt{a^2-b^2})$
- 曲線は $x$ 軸，$y$ 軸，原点に関して対称
- 円 $x^2+y^2=b^2$ を $y$ 軸をもとにして $x$ 軸の方向に $\frac{a}{b}$ 倍に縮小した曲線
双曲線
【定義】
双曲線：平面上で，2定点 $\mathrm{F}$，$\mathrm{F’}$ からの距離の差が一定である点の軌跡
双曲線の方程式の標準形：$\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1}$ ( $a>0$，$b>0$ )
焦点：双曲線の定義における2点 $\mathrm{F}$，$\mathrm{F’}$
【定理】
双曲線の性質
双曲線 $\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1}$ ( $a>0$，$b>0$ )
- 双曲線上の任意の点から2つの焦点までの距離の差：$2a$
- 中心：原点
- 頂点：$(a,0)$，$(-a,0)$
- 焦点：$\mathrm{F}(\sqrt{a^2+b^2},0)$，$\mathrm{F’}(-\sqrt{a^2+b^2},0)$
- 曲線は $x$ 軸，$y$ 軸，原点に関して対称
- 漸近線：$y=\pm\displaystyle\frac{b}{a}x$
双曲線 $\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1}$ ( $a>0$，$b>0$ )
- 楕円上の任意の点から2つの焦点までの距離の和：$2b$
- 中心：原点
- 頂点：$(0,b)$，$(0,-b)$
- 焦点：$\mathrm{F}(0,\sqrt{a^2+b^2})$，$\mathrm{F’}(0,-\sqrt{a^2+b^2})$
- 曲線は $x$ 軸，$y$ 軸，原点に関して対称
- 漸近線：$y=\pm\displaystyle\frac{b}{a}x$
2次曲線の平行移動
曲線 $F(x,y)=0$ を $x$ 軸方向に $p$，$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動して得られる曲線の方程式は
$F(x-p,y-q)=0$
方程式が標準形で表される2次曲線を平行移動したときの曲線の方程式は
$ax^2+cy^2+dx+ey+f=0$
2次曲線を平行移動だけでなく，回転・対称移動したときの曲線の方程式は
$ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$
※平行移動だけなら $xy$ の項は現れない。