線分の内分点，外分点

複素数平面上において，2点 A(α)\mathrm{A}(\alpha)，B(β)\mathrm{B}(\beta) を結ぶ線分 AB\mathrm{AB} を m:nm:n に内分する点を C(γ)\mathrm{C}(\gamma)，m:nm:n に外分する点を D(δ)\mathrm{D}(\delta) とすると

  • 内分点：$\gamma=\displaystyle\frac{n\alpha+m\beta}{m+n}$
  • 外分点：$\delta=\displaystyle\frac{-n\alpha+m\beta}{m-n}$
  • 線分 $\mathrm{AB}$ の中点：$\displaystyle\frac{\alpha+\beta}{2}$

方程式・不等式の表す図形

複素数平面上の異なる2点を A(α)\mathrm{A}(\alpha)，B(β)\mathrm{B}(\beta) とすると

  • 方程式 $|z-\alpha|=|z-\beta|$ を満たす点 $\mathrm{P}(z)$ 全体は線分 $\mathrm{AB}$ の垂直二等分線
  • 方程式 $|z-\alpha|=r$ ( $r>0$ )を満たす点 $\mathrm{P}(z)$ 全体は点 $\mathrm{A}$ を中心とする半径 $r$ の円
  • 方程式 $|z-\alpha|<r$ ( $r>0$ )を満たす点 $\mathrm{P}(z)$ 全体は点 $\mathrm{A}$ を中心とする半径 $r$ の円の内部
  • 方程式 $|z-\alpha|\leqq r$ ( $r>0$ )を満たす点 $\mathrm{P}(z)$ 全体は点 $\mathrm{A}$ を中心とする半径 $r$ の円の周および内部
  • 方程式 $|z-\alpha|>r$ ( $r>0$ )を満たす点 $\mathrm{P}(z)$ 全体は点 $\mathrm{A}$ を中心とする半径 $r$ の円の外部
  • 方程式 $|z-\alpha|\geqq r$ ( $r>0$ )を満たす点 $\mathrm{P}(z)$ 全体は点 $\mathrm{A}$ を中心とする半径 $r$ の円の周および外部
  • 方程式 $n|z-\alpha|=m|z-\beta|$ ( $m>0$，$n>0$，$m\neq n$ )を満たす点 $\mathrm{P}(z)$ 全体は線分 $\mathrm{AB}$ を $m:n$ の比に内分する点と外分する点を直径の両端とする円(アポロニウスの円)

線分のなす角，平行・垂直

複素数平面上の異なる4点を A(α)\mathrm{A}(\alpha)，B(β)\mathrm{B}(\beta)，C(γ)\mathrm{C}(\gamma)，D(δ)\mathrm{D}(\delta) とし，偏角 θ\theta は −π<θ≦π-\pi<\theta\leqq\pi で考えるものとすると

  • $\angle \mathrm{BAC}=\left|\mathrm{arg}\displaystyle\frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}\right|$
  • 3点 $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$ が同じ直線上にある $\Leftrightarrow$ $\displaystyle\frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}$ が実数 (偏角が $0$，$\pi$ )
  • $\mathrm{AB}\perp\mathrm{AC}$ $\Leftrightarrow$ $\displaystyle\frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}$ が純虚数 (偏角が $\pm\frac{\pi}{2}$ )
  • $\mathrm{AB}/\!/\mathrm{CD}$ $\Leftrightarrow$ $\displaystyle\frac{\delta-\gamma}{\beta-\alpha}$ が実数
  • $\mathrm{AB}\perp\mathrm{CD}$ $\Leftrightarrow$ $\displaystyle\frac{\delta-\gamma}{\beta-\alpha}$ が純虚数