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【定義・定理・公式】高校数学基本事項 – 数学Ⅲ – 複素数平面

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複素数平面

【定義】

複素数平面(複素平面):複素数 $z=a+bi$ を点 $\mathrm{P}(a,b)$ に対応させた座標平面

※$z=a+bi$ を表す点 $\mathrm{P}$ を,$\mathrm{P}(z)$,$\mathrm{P}(a+bi)$,点 $z$ と表す。

実軸:複素数平面における $x$ 軸

虚軸:複素数平面における $y$ 軸

共役複素数( $\boldsymbol{\overline{z}}$ ):複素数 $z=a+bi$ に対して $\overline{z}=a-bi$

 

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複素数の和,差,実数倍,絶対値,距離

複素数の和,差,実数倍はベクトルのそれと類似する。また,図示に関しても同様である。

2つの複素数 $\alpha=a+bi$,$\beta=c+di$,2つのベクトル $\overrightarrow{OA}=(a,b)$,$\overrightarrow{OB}=(c,d)$,実数 $k$ に対して

  複素数 ベクトル
$\alpha+\beta=(a+c)+(b+d)i$ $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=(a+c,b+d)$
$\alpha-\beta=(a-c)+(b-d)i$ $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=(a-c,b-d)$
実数倍 $k\alpha=ka+kbi$ $k\overrightarrow{OA}=(ka,kb)$
絶対値 $|\alpha|=\sqrt{a^2+b^2}$ $|\overrightarrow{OA}|=\sqrt{a^2+b^2}$
距離 $\mathrm{AB}=|\beta-\alpha|$ $\mathrm{AB}=|\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}|$

 

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共役複素数の性質

【定理】

共役複素数の性質

実数の条件・純虚数の条件

共役複素数の演算