複素数平面
【定義】
複素数平面(複素平面)：複素数 $z=a+bi$ を点 $\mathrm{P}(a,b)$ に対応させた座標平面
※$z=a+bi$ を表す点 $\mathrm{P}$ を，$\mathrm{P}(z)$，$\mathrm{P}(a+bi)$，点 $z$ と表す。
実軸：複素数平面における $x$ 軸
虚軸：複素数平面における $y$ 軸
共役複素数( $\boldsymbol{\overline{z}}$ )：複素数 $z=a+bi$ に対して $\overline{z}=a-bi$
複素数の和，差，実数倍，絶対値，距離
複素数の和，差，実数倍はベクトルのそれと類似する。また，図示に関しても同様である。
2つの複素数 $\alpha=a+bi$，$\beta=c+di$，2つのベクトル $\overrightarrow{OA}=(a,b)$，$\overrightarrow{OB}=(c,d)$，実数 $k$ に対して
| 複素数 | ベクトル | |
| 和 | $\alpha+\beta=(a+c)+(b+d)i$ | $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=(a+c,b+d)$ |
| 差 | $\alpha-\beta=(a-c)+(b-d)i$ | $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=(a-c,b-d)$ |
| 実数倍 | $k\alpha=ka+kbi$ | $k\overrightarrow{OA}=(ka,kb)$ |
| 絶対値 | $|\alpha|=\sqrt{a^2+b^2}$ | $|\overrightarrow{OA}|=\sqrt{a^2+b^2}$ |
| 距離 | $\mathrm{AB}=|\beta-\alpha|$ | $\mathrm{AB}=|\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}|$ |
共役複素数の性質
【定理】
共役複素数の性質
実数の条件・純虚数の条件
- $z$ が実数 $\Leftrightarrow$ $\overline{z}=z$
- $z$ が純虚数 $\Leftrightarrow$ $\overline{z}=-z$ ( $z\neq0$ )
- $z+\overline{z}$，$z\overline{z}$ は常に実数
※特に，$z\overline{z}=|z|^2$ より $z\overline{z}\geqq0$ - $z$ が実数でないとき，$z-\overline{z}$ は常に純虚数
共役複素数の演算
- $\overline{\alpha+\beta}=\overline{\mathstrut\alpha}+\overline{\mathstrut\beta}$
- $\overline{\alpha-\beta}=\overline{\mathstrut\alpha}-\overline{\mathstrut\beta}$
- $\overline{\alpha\beta}=\overline{\mathstrut\alpha} \ \overline{\mathstrut\beta}$
- $\displaystyle{\overline{\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)}=\frac{\overline{\alpha}}{\overline{\beta}}}$ ( $\beta\neq0$ )
- $\overline{\overline{\alpha}}=\alpha$