複素数平面

【定義】

複素数平面(複素平面)：複素数 z=a+biz=a+bi を点 P(a,b)\mathrm{P}(a,b) に対応させた座標平面

※$z=a+bi$ を表す点 $\mathrm{P}$ を，$\mathrm{P}(z)$，$\mathrm{P}(a+bi)$，点 $z$ と表す。

実軸：複素数平面における xx 軸

虚軸：複素数平面における yy 軸

共役複素数( z‾\boldsymbol{\overline{z}} )：複素数 z=a+biz=a+bi に対して z‾=a−bi\overline{z}=a-bi

複素数の和，差，実数倍，絶対値，距離

複素数の和，差，実数倍はベクトルのそれと類似する。また，図示に関しても同様である。

2つの複素数 α=a+bi\alpha=a+bi，β=c+di\beta=c+di，2つのベクトル OA→=(a,b)\overrightarrow{OA}=(a,b)，OB→=(c,d)\overrightarrow{OB}=(c,d)，実数 kk に対して

  複素数 ベクトル
和 $\alpha+\beta=(a+c)+(b+d)i$ $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=(a+c,b+d)$
差 $\alpha-\beta=(a-c)+(b-d)i$ $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=(a-c,b-d)$
実数倍 $k\alpha=ka+kbi$ $k\overrightarrow{OA}=(ka,kb)$
絶対値 $|\alpha|=\sqrt{a^2+b^2}$ $|\overrightarrow{OA}|=\sqrt{a^2+b^2}$
距離 $\mathrm{AB}=|\beta-\alpha|$ $\mathrm{AB}=|\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}|$

共役複素数の性質

【定理】

共役複素数の性質

実数の条件・純虚数の条件

  • $z$ が実数 $\Leftrightarrow$ $\overline{z}=z$
  • $z$ が純虚数 $\Leftrightarrow$ $\overline{z}=-z$ ( $z\neq0$ )
  • $z+\overline{z}$，$z\overline{z}$ は常に実数
    ※特に，$z\overline{z}=|z|^2$ より $z\overline{z}\geqq0$
  • $z$ が実数でないとき，$z-\overline{z}$ は常に純虚数

共役複素数の演算

  • $\overline{\alpha+\beta}=\overline{\mathstrut\alpha}+\overline{\mathstrut\beta}$
  • $\overline{\alpha-\beta}=\overline{\mathstrut\alpha}-\overline{\mathstrut\beta}$
  • $\overline{\alpha\beta}=\overline{\mathstrut\alpha} \ \overline{\mathstrut\beta}$
  • $\displaystyle{\overline{\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)}=\frac{\overline{\alpha}}{\overline{\beta}}}$ ( $\beta\neq0$ )
  • $\overline{\overline{\alpha}}=\alpha$