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【定義・定理・公式】高校数学基本事項 – 数学Ⅱ – 円,円と直線,2つの円

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円の方程式

基本形

中心が $(a,b)$,半径が $r$ の円の方程式:$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

中心が原点,半径が $r$ の円の方程式:$x^2+y^2=r^2$

一般形

$x^2+y^2+lx+my+n=0$

 

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円と直線の位置関係

半径 $r$ の円と直線 $l$ について,2つの方程式を連立し,$y$ を消去してできる $x$ の2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の判別式を $D=b^2-4ac$,円の中心 $\mathrm{O}$ と直線 $l$ の距離を $d$ とする。

$D$ の符号 $D>0$ $D=0$ $D<0$
$d$ と $r$ の大小 $d<r$ $d=r$ $d>r$
$ax^2+bx+c=0$ の
実数解
異なる2つの実数解
$x= \alpha,\beta$
重解
$x= \alpha$
実数解はない
共有点の個数 2個 1個 0個
円と直線の位置関係 異なる2点で交わる 接する 共有点をもたない

 

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円の接線の方程式

円 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ 上の点 $\mathrm{P} (x_1,y_1)$ における接線の方程式は

$(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2$

特に,円の中心が原点のとき

$x_1x+y_1y=r^2$

 

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2つの円の位置関係

半径がそれぞれ $r$,$r’$ ( $r>r’$ )である2つの円の中心間の距離を $d$ とする。

一方が他方の
内部にある
内接する 2点で交わる 外接する 一方が他方の
外部にある
$d<r-r’$ $d=r-r’$ $r-r'<d<r+r’$ $d=r+r’$ $r+r'<d$

※2つの円が接する(内接,外接する)とき,この共有点を接点といい,接点は2つの円の中心を結ぶ直線上にある。

 

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2つの円の交点を通る円,直線

異なる2点 $\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$ で交わる2つの円 $O_1:x^2+y^2+l_1x+m_1y+n_1=0$,$O_2:x^2+y^2+l_2x+m_2y+n_2=0$ に対し,$k$ を定数とすると,方程式 $k(x^2+y^2+l_1x+m_1y+n_1)+x^2+y^2+l_2x+m_2y+n_2=0$ は,

$k \neq -1$ のとき:2つの交点 $\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$ を通る円 $O_1$ 以外の円

$k=-1$ のとき:2つの交点 $\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$ を通る直線

を表す。