円の方程式
基本形
中心が $(a,b)$，半径が $r$ の円の方程式：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$
中心が原点，半径が $r$ の円の方程式：$x^2+y^2=r^2$
一般形
$x^2+y^2+lx+my+n=0$
円と直線の位置関係
半径 $r$ の円と直線 $l$ について，2つの方程式を連立し，$y$ を消去してできる $x$ の2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の判別式を $D=b^2-4ac$，円の中心 $\mathrm{O}$ と直線 $l$ の距離を $d$ とする。
| $D$ の符号 | $D>0$ | $D=0$ | $D<0$ |
| $d$ と $r$ の大小 | $d<r$ | $d=r$ | $d>r$ |
| $ax^2+bx+c=0$ の 実数解 |
異なる2つの実数解 $x= \alpha,\beta$ |
重解 $x= \alpha$ |
実数解はない |
| 共有点の個数 | 2個 | 1個 | 0個 |
| 円と直線の位置関係 | 異なる2点で交わる | 接する | 共有点をもたない |
円の接線の方程式
円 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ 上の点 $\mathrm{P} (x_1,y_1)$ における接線の方程式は
$(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2$
特に，円の中心が原点のとき
$x_1x+y_1y=r^2$
2つの円の位置関係
半径がそれぞれ $r$，$r’$ ( $r>r’$ )である2つの円の中心間の距離を $d$ とする。
| 一方が他方の 内部にある |
内接する | 2点で交わる | 外接する | 一方が他方の 外部にある |
| $d<r-r’$ | $d=r-r’$ | $r-r'<d<r+r’$ | $d=r+r’$ | $r+r'<d$ |
※2つの円が接する(内接，外接する)とき，この共有点を接点といい，接点は2つの円の中心を結ぶ直線上にある。
2つの円の交点を通る円，直線
異なる2点 $\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$ で交わる2つの円 $O_1:x^2+y^2+l_1x+m_1y+n_1=0$，$O_2:x^2+y^2+l_2x+m_2y+n_2=0$ に対し，$k$ を定数とすると，方程式 $k(x^2+y^2+l_1x+m_1y+n_1)+x^2+y^2+l_2x+m_2y+n_2=0$ は，
$k \neq -1$ のとき：2つの交点 $\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$ を通る円 $O_1$ 以外の円
$k=-1$ のとき：2つの交点 $\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$ を通る直線
を表す。