等式の証明
等式 $A=B$ を証明する方法の例
- $A→B$：$A$ か $B$ の一方を変形して他方を導く。複雑な式の方を変形するのが原則。
- $A→C$，$B→C$：$A$，$B$ をそれぞれ変形して同じ式を導く。
- $A-B→0$：$A-B$ を変形して0になることを示す。
実数の大小関係
任意の2つの実数 $a$，$b$ については，$a>b$，$a=b$，$a<b$ のうちどれか1つの関係だけが成り立つ。
大小関係の基本性質
- $a>b$，$b>c$ $\Rightarrow$ $a>c$
- $a>b$ $\Rightarrow$ $a+c>b+c$，$a-c>b-c$
- $a>b$，$c>0$ $\Rightarrow$ $ac>bc$，$\frac{a}{c} > \frac{b}{c}$
- $a>b$，$c<0$ $\Rightarrow$ $ac<bc$，$\frac{a}{c} < \frac{b}{c}$
- $a>0$，$b>0$ $\Rightarrow$ $a+b>0$
- $a>0$，$b>0$ $\Rightarrow$ $ab>0$
大小関係と差の正負
- $a>b$ $\Leftrightarrow$ $a-b>0$
- $a<b$ $\Leftrightarrow$ $a-b<0$
実数の平方
- $a^2 \geqq 0$ ( $a=0$ のとき等号成立)
- $a^2+b^2 \geqq 0$ ( $a=b=0$ のとき等号成立)
正の数の大小と平方の大小
- $a>0$，$b>0$ のとき $a^2>b^2$ $\Leftrightarrow$ $a>b$
- $a>0$，$b>0$ のとき $a^2 \geqq b^2$ $\Leftrightarrow$ $a \geqq b$
絶対値と不等式
- $a \geqq 0$ のとき $|a|=a$
- $a<0$ のとき $|a|=-a$
- $|a|=|-a|$
- $|a| \geqq a$
- $|a| \geqq -a$
- $|a|^2=a^2$
- $|ab|=|a||b|$
- $b \neq 0$ のとき $| \frac{a}{b} |= \frac{|a|}{|b|}$
相加平均と相乗平均の関係
【定義】
実数 $a$，$b$ について
相加平均：$\displaystyle \frac{a+b}{2}$
相乗平均：$\sqrt{ab}$
【定理】
相加平均と相乗平均の関係
$a>0$，$b>0$ のとき
$\displaystyle \frac{a+b}{2} \geqq \sqrt{ab}$ ( $a=b$ のとき等号成立)