【定義・定理・公式】高校数学基本事項 - 数学Ⅱ - 等式・不等式の証明

2018-09-26

等式の証明

等式 $A=B$ を証明する方法の例

• $A→B$：$A$ か $B$ の一方を変形して他方を導く。複雑な式の方を変形するのが原則。
• $A→C$，$B→C$：$A$，$B$ をそれぞれ変形して同じ式を導く。
• $A-B→0$：$A-B$ を変形して0になることを示す。

実数の大小関係

任意の2つの実数 $a$，$b$ については，$a>b$，$a=b$，$a<b$ のうちどれか1つの関係だけが成り立つ。

大小関係の基本性質

• $a>b$，$b>c$ $\Rightarrow$ $a>c$
• $a>b$ $\Rightarrow$ $a+c>b+c$，$a-c>b-c$
• $a>b$，$c>0$ $\Rightarrow$ $ac>bc$，$\frac{a}{c} > \frac{b}{c}$
• $a>b$，$c<0$ $\Rightarrow$ $ac<bc$，$\frac{a}{c} < \frac{b}{c}$
• $a>0$，$b>0$ $\Rightarrow$ $a+b>0$
• $a>0$，$b>0$ $\Rightarrow$ $ab>0$

大小関係と差の正負

• $a>b$ $\Leftrightarrow$ $a-b>0$
• $a<b$ $\Leftrightarrow$ $a-b<0$

実数の平方

• $a^2 \geqq 0$ ( $a=0$ のとき等号成立)
• $a^2+b^2 \geqq 0$ ( $a=b=0$ のとき等号成立)

正の数の大小と平方の大小

• $a>0$，$b>0$ のとき $a^2>b^2$ $\Leftrightarrow$ $a>b$
• $a>0$，$b>0$ のとき $a^2 \geqq b^2$ $\Leftrightarrow$ $a \geqq b$

絶対値と不等式

• $a \geqq 0$ のとき $|a|=a$
• $a<0$ のとき $|a|=-a$
• $|a|=|-a|$
• $|a| \geqq a$
• $|a| \geqq -a$
• $|a|^2=a^2$
• $|ab|=|a||b|$
• $b \neq 0$ のとき $| \frac{a}{b} |= \frac{|a|}{|b|}$

相加平均と相乗平均の関係

【定義】

実数 $a$，$b$ について

相加平均：$\displaystyle \frac{a+b}{2}$

相乗平均：$\sqrt{ab}$

【定理】

相加平均と相乗平均の関係

$a>0$，$b>0$ のとき

$\displaystyle \frac{a+b}{2} \geqq \sqrt{ab}$ ( $a=b$ のとき等号成立)