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【定義・定理・公式】高校数学基本事項 – 数学Ⅰ – 2次不等式

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2次関数のグラフと2次不等式の解

2次方程式 $ax^2+bx+c=(x- \alpha )(x- \beta )=0$ の判別式を $D$,$D \geqq 0$ の場合の実数解を $\alpha$,$\beta$ $( \alpha \leqq \beta )$ とすると,$x^2$ の係数が正である2次不等式の解は次のようになる。

$D$ の符号 $D>0$ $D=0$ $D<0$
$ax^2+bx+c=0$ の実数解 異なる2つの実数解
$x= \alpha,\beta$
重解
$x= \alpha = \beta$
実数解はない
$ax^2+bx+c>0$ の解 $x< \alpha$,$\beta <x$ $\alpha$ 以外のすべての実数 すべての実数
$ax^2+bx+c \geqq 0$ の解 $x \leqq \alpha$,$\beta \leqq x$ すべての実数 すべての実数
$ax^2+bx+c<0$ の解 $\alpha <x< \beta$ 解はない 解はない
$ax^2+bx+c \leqq 0$ の解 $\alpha \leqq x \leqq \beta$ $x= \alpha$ 解はない

 

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判別式と不等式

$a \neq 0$,判別式を $D=b^2-4ac$ とすると

常に $ax^2+bx+c>0$ $\Leftrightarrow$ $a>0$ かつ $D<0$

常に $ax^2+bx+c \geqq 0$ $\Leftrightarrow$ $a>0$ かつ $D \leqq 0$

常に $ax^2+bx+c<0$ $\Leftrightarrow$ $a<0$ かつ $D<0$

常に $ax^2+bx+c \leqq 0$ $\Leftrightarrow$ $a<0$ かつ $D \leqq 0$

※すべての実数 $x$ について常に成り立つ不等式を絶対不等式という。

 

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2次関数のグラフと $x$ 軸の共有点の関係

$f(x)=ax^2+bx+c$ $(a \neq 0)$,$D=b^2-4ac$ とする。$y=f(x)$ のグラフと $x$ 軸の共有点の $x$ 座標 $\alpha$,$\beta$ $(\alpha \leqq \beta)$ について,次のことが成り立つ。

$k \neq 0$ のとき

$a>0$ のとき

$k< \alpha \leqq \beta$ $\Leftrightarrow$ $D \geqq 0$,$(軸の位置)>k$,$f(k)>0$

$\alpha \leqq \beta <k$ $\Leftrightarrow$ $D \geqq 0$,$(軸の位置)<k$,$f(k)>0$

$\alpha <k< \beta$ $\Leftrightarrow$ $f(k)<0$

$a<0$ のとき

$k< \alpha \leqq \beta$ $\Leftrightarrow$ $D \geqq 0$,$(軸の位置)>k$,$f(k)<0$

$\alpha \leqq \beta <k$ $\Leftrightarrow$ $D \geqq 0$,$(軸の位置)<k$,$f(k)<0$

$\alpha <k< \beta$ $\Leftrightarrow$ $f(k)>0$

$k=0$ のとき

$a>0$ のとき

$\alpha$,$\beta$ とも正 $\Leftrightarrow$ $D \geqq 0$,$(軸の位置)>k$,$f(k)>0$

$\alpha$,$\beta$ とも負 $\Leftrightarrow$ $D \geqq 0$,$(軸の位置)<k$,$f(k)>0$

$\alpha <0< \beta$ $\Leftrightarrow$ $f(k)<0$

$a<0$ のとき

$\alpha$,$\beta$ とも正 $\Leftrightarrow$ $D \geqq 0$,$(軸の位置)>k$,$f(k)<0$

$\alpha$,$\beta$ とも負 $\Leftrightarrow$ $D \geqq 0$,$(軸の位置)<k$,$f(k)<0$

$\alpha <0< \beta$ $\Leftrightarrow$ $f(k)>0$