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【定義・定理・公式】高校数学基本事項 – 数学Ⅰ – 2次関数の最大・最小と決定

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2次関数の最大・最小

2次関数 $y=a(x-p)^2+q$ は

$a>0$ のとき 最小値: $q$ ( $x=p$ ) 最大値:なし

$a<0$ のとき 最小値:なし 最大値:$q$ ( $x=p$ )

 

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定義域に制限がある場合の最大・最小

$f(x)=a(x-p)^2+q$ とおくと,$y=f(x)$ ( $k \leqq x \leqq l$ )の最大最小は

    $x<k$ $k \leqq x<p$ $x=p$ $p<x \leqq l$ $l<x$
$a>0$ 最大値 $f(l)$ $f(l)$ $f(k)=f(l)$ $f(k)$ $f(k)$
最小値 $f(k)$ $f(p)=q$ $f(p)=q$ $f(p)=q$ $f(l)$
$a<0$ 最大値 $f(k)$ $f(p)=q$ $f(p)=q$ $f(p)=q$ $f(l)$
最小値 $f(l)$ $f(l)$ $f(k)=f(l)$ $f(k)$ $f(k)$

※2次関数の最大・最小は,定義域の範囲と軸の位置によって変わる。

 

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2次関数の決定

関数の決定は与えられた条件が使える形(一般形・標準形・分解形)から始める。

頂点や軸,最大値・最小値に関する条件が与えられた場合 $\to$ 標準形:$y=a(x-p)^2+q$

$x$ 軸との交点が与えられた場合 $\to$ 分解形:$y=a(x- \alpha )(x- \beta )$

グラフ上の3点が与えられた場合 $\to$ 一般形:$y=ax^2+bx+c$