実数
実数の分類
【定義】
有理数：実数のうち，整数か分数の形で表せる数
無理数：実数のうち，整数か分数の形で表せない数
循環節：循環小数において繰り返される数字の列
※循環小数は，循環節の最初と最後の数字の上に・をつけて表す。
数の範囲と四則
自然数の範囲では減法と除法が，整数の範囲では除法が，必ずしも可能ではない。
※整数同士の商が整数とは限らない
有理数や実数の範囲では四則計算が可能。
※2つの有理数の和，差，積，商は常に有理数であり，2つの実数の和，差，積，商は常に実数
※除法では，0で割ることは考えないものとする。
数直線と絶対値
実数と数直線
【定義】
数直線：直線上に基準となる点 $\mathrm{O}$ をとって数0を対応させ，その点の両側に目盛りをつけた直線
原点：数直線における点 $\mathrm{O}$
※数直線では，1つの実数に1つの点が対応している。
※数直線上で，点 $\mathrm{P}$ に実数 $a$ が対応しているとき，$a$ を点 $\mathrm{P}$ の座標といい，座標が $a$ である点 $\mathrm{P}$ を $\mathrm{P} (a)$ で表す。
※実数の大小関係は，数直線上では点の左右の位置関係で表される。
絶対値
【定義】
絶対値 $\boldsymbol{|a|}$ ：原点 $\mathrm{O} (0)$ と点 $\mathrm{P} (a)$ の距離
$|a|= \left \{ \begin{array}{cl} a & (a \geqq 0 のとき) \\ -a & (a<0 のとき) \end{array} \right.$
2点間の距離
【定義】
2点 $\mathrm{P} (a)$，$\mathrm{Q} (b)$ の距離：$|b-a|$
平方根
【定義】
$a$ の平方根：2乗して $a$ になる数
※$a>0$ のとき，$a$ の平方根は正と負の2つあり，そのうち正の数を $\sqrt{a}$，負の数を$- \sqrt{a}$ で表す。$a=0$ のとき，$\sqrt{a}=0$。
【定理】
$a \geqq 0$ のとき，
$( \sqrt{a} )^2=a$
$\sqrt{a} \geqq 0$
$\sqrt{a^2} =|a|= \left \{ \begin{array}{cl} a & (a \geqq 0 のとき) \\ -a & (a<0 のとき) \end{array} \right.$
$a>0$，$b>0$，$k>0$ のとき，
$\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}$
$\displaystyle{ \frac{ \sqrt{a}}{ \sqrt{b}} = \sqrt{ \frac{a}{b}}}$
$\sqrt{k^2a} =k \sqrt{a}$
平方根の近似値
- $\sqrt{2} =1.41421356$……
ひとよひとよにひとみごろ(ひと夜ひと夜に人見ごろ) - $\sqrt{3} =1.7320508$……
ひとなみにおごれや(人並みにおごれや) - $\sqrt{5} =2.2360679$……
ふじさんろくおーむなく(富士山麓オーム鳴く) - $\sqrt{7} =2.6457513$……
なにむしいないいさん(菜に虫いない遺産)
2重根号
【定理】
$a>0$，$b>0$ のとき，
$\sqrt{(a+b)+2 \sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$
$a>b>0$ のとき，
$\sqrt{(a+b)-2 \sqrt{ab}} = \sqrt{a}- \sqrt{b}$